Alexander
30/03/2006, 11:12
Ψυχωτικός δολοφόνος γατών έχει τοποθετήσει πανίσχυρη, υψηλής τεχνολογίας
ωρολογιακή βόμβα στην κοιλιά μιας αδέσποτης γάτας στον Κολωνό. Την ώρα που η
άμοιρη γατούλα βρίσκεται στη διασταύρωση Σ. Πάτση και Λένορμαν, βλέπει ένα
γάτο να την πλησιάζει με έντονη ερωτική διάθεση. Όταν ο ακόμα πιο άμοιρος
γάτος φτάσει σε απόσταση ενός μέτρου, η βόμβα μπαίνει σε λειτουργία και
εκρήγνυται. Ένας εκκωφαντικός ήχος αναστατώνει όλη την περιοχή. Ένας
ταξιτζής περνάει ταραγμένος με κόκκινο το φανάρι και τρακάρει με ένα
λεωφορείο - φυσαρμόνικα υπό γωνία που προσεγγιστικά θεωρούμε 90ο.
α) Αν ο ταξιτζής στούκαρε στο λεωφορείο με ταχύτητα 55χλμ/ώρα, η μάζα του
ταξί ήταν 900Kg και του λεωφορείου 7ton, ενώ το λεωφορείο μετατοπίστηκε μαζί
με το ταξί(συσσωμάτωμα - σάντουιτς) για 12,5 μέτρα σε ευθεία που σχημάτιζε
γωνία 30ο με το διάνυσμα της ταχύτητας του ταξί, βρείτε την ταχύτητα του
λεωφορείου και τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. Τα βάρη
των επιβατών των 2 επιβατηγών περιέχονται στις τιμές που δίνονται.
β) Επιστροφή στον πρωταγωνιστή της άσκησης. Η γάτα λοιπόν με αυτή την
πανίσχυρη έκρηξη μετατρέπεται σε 5 άνισα κομμάτια με λόγους μαζών
m1/5=m2/8=m3/2=m4/6=m5/2. Το κομμάτι μάζας m1 φεύγει με ταχύτητα 20m/sec
πάνω στην ευθεία που ενώνει τα κέντα μάζας του γάτου και της πρώην γάτας. Ο
γάτος λόγω της έκρηξης έφυγε στη ίδια ευθεία με ταχύτητα 10m/sec. Δίνεται
ότι τα 2 τετράποδα είχαν την ίδια μάζα πριν την έκρηξη. Σε πόσο χρόνο και σε
πόση απόσταση θα συγκρουστούν οι δυο γάτες και μετά από πόση απόσταση θα
σταματήσουν;
γ) Τα κομμάτια μαζών m2 και m3 αποκτούν αντίστοιχα ταχύτητες υδ και 3υδ
αντίστοιχα, όπου υδ είναι η ταχύτητα διαφυγής κάποιας μάζας από το βαρυτικό
πεδίο της γης και πρέπει να υπολογιστεί. Τα κομμάτια αυτά έχουν διαφορά
φάσης 45ο, μετρώντας από τον άξονα x με φορά αντίθετη φυσικά αυτής του
ρολογιού. To m2 προσκολλάται πάνω σε ένα δορυφόρο ο οποίος βρίσκεται σε
ελλειπτική τροχιά γύρω από τη γη με εξίσωση: (x-1)2/α+y^2/β=1. Για τους
υπολογισμούς θεωρήστε το (0,0) ως το κέντρο της γης. Η τροχιά έχει τέτοια
εκκεντρότητα ώστε η κοντινότερη απόσταση που έρχεται ο δορυφόρος με τη γη
είναι 100km. Ο δορυφόρος μένει ακίνητος. Να βρεθούν η εκκεντρότητα της
έλλειψης, το ύψος της σύγκρουσης και η μάζα του δορυφόρου.Το κομμάτι μάζας
m3 τώρα προσκολλάται πάνω σε ένα διαστημόπλοιο της NASA το οποίο οδεύει προς
τον Κρόνο. Έχει όμως τέτοια ορμή που του αλλάζει την πορεία και το κάνει να
κινηθεί σε τροχιά γύρω από το Δία. Με γνωστές τη μάζα και την ταχύτητα του
διαστημοπλοίου, καθώς και με την πληροφορία ότι τα δυο σώματα συγκρούστηκαν
κάθετα, να υπολογιστεί η εξίσωση της τροχιάς από τον Κρόνο στο Δία. Θα μπει
σε τροχιά γύρω από το Δία η θα εκτελέσει την πορεία που μόλις υπολογίσετε
και μετά θα απομακρυνθεί από το βαρυτικό του πεδίο; Η παγκόσμια σταθερά
έλξης GΔ του Δία θεωρείται γνωστή.
δ) Το κομμάτι μάζας m4 πέφτει στην κεντρική πλατεία της Ν. Σμύρνης, όπου
κάτι παιδάκια παίζουν ανέμελα κρυφτό. Ένα από τα παιδάκια, το οποίο έχει
ύψος h=1,5m αηδιάζει και κάνει εμετό. Ο εμετός έχει συνολικό μήκος 20cm και
κάνει οριζόντια βολή με αρχική ταχύτητα 6m/sec. Να βρεθεί το βεληνεκές του
εμετού. Δεδομένου ότι ο εμετός πέφτει στο έδαφος σαν αλυσίδα(δηλαδή όχι όλος
μαζί) να υπολογιστεί ο χρόνος που θα χρειαστεί για να πέσει ολόκληρος στο
πάτωμα, καθώς και η ακτίνα εξάπλωσής του αν υποθέσουμε ότι σχηματίζει κύκλο.
Επιπλέον απαντήστε στην ερώτηση κρίσεως: Είναι αποτελεσματικό να παίζεις
κρυφτό στην πλατεία ή είναι καλύτερο να πας κάπου που να έχει καλύτερες και
περισσότερες κρυψώνες; Να απαντήσετε έχοντας υπόψη σας και αυτούς που
κρύβονται αλλά και αυτόν που τα φυλάει.
ε) Το κομμάτι μάζας m5 πέφτει έξω από ένα σουβλατζίδικο στα Κ. Πετράλωνα. Ο
σουβλατζής μαζεύει περιχαρής το κομμάτι αυτό και το πάει στα σφαγεία να το
κάνει γύρο. Με την αφαίρεση τριχώματος και λοιπών "άχρηστων" στοιχείων η
μάζα μειώνεται κατά 30%. Στο ψήσιμο του γύρου τώρα, θεωρούμε ότι χάνονται
0,7gr/ώρα σε λίπος. Αν ένας πελάτης έχει την ατυχία να του πέσει "όλη η
γάτα" στο σουβλάκι του, πόσες θερμίδες θα πάρει από το γύρο; Αν τρώγοντάς το
καταλάβει ότι είναι γάτα και το πετάξει κατά λάθος στην καράφλα ενός
ανυποψίαστου περαστικού θα μπορέσει σύμφωνα με τις εξισώσεις του Einstein να
γυρίσει πίσω το χρόνο και να διορθώσει το λάθος του;
Για τους υπολογισμούς σας, θεωρήστε γνωστό και το g=10m/s^2
ωρολογιακή βόμβα στην κοιλιά μιας αδέσποτης γάτας στον Κολωνό. Την ώρα που η
άμοιρη γατούλα βρίσκεται στη διασταύρωση Σ. Πάτση και Λένορμαν, βλέπει ένα
γάτο να την πλησιάζει με έντονη ερωτική διάθεση. Όταν ο ακόμα πιο άμοιρος
γάτος φτάσει σε απόσταση ενός μέτρου, η βόμβα μπαίνει σε λειτουργία και
εκρήγνυται. Ένας εκκωφαντικός ήχος αναστατώνει όλη την περιοχή. Ένας
ταξιτζής περνάει ταραγμένος με κόκκινο το φανάρι και τρακάρει με ένα
λεωφορείο - φυσαρμόνικα υπό γωνία που προσεγγιστικά θεωρούμε 90ο.
α) Αν ο ταξιτζής στούκαρε στο λεωφορείο με ταχύτητα 55χλμ/ώρα, η μάζα του
ταξί ήταν 900Kg και του λεωφορείου 7ton, ενώ το λεωφορείο μετατοπίστηκε μαζί
με το ταξί(συσσωμάτωμα - σάντουιτς) για 12,5 μέτρα σε ευθεία που σχημάτιζε
γωνία 30ο με το διάνυσμα της ταχύτητας του ταξί, βρείτε την ταχύτητα του
λεωφορείου και τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. Τα βάρη
των επιβατών των 2 επιβατηγών περιέχονται στις τιμές που δίνονται.
β) Επιστροφή στον πρωταγωνιστή της άσκησης. Η γάτα λοιπόν με αυτή την
πανίσχυρη έκρηξη μετατρέπεται σε 5 άνισα κομμάτια με λόγους μαζών
m1/5=m2/8=m3/2=m4/6=m5/2. Το κομμάτι μάζας m1 φεύγει με ταχύτητα 20m/sec
πάνω στην ευθεία που ενώνει τα κέντα μάζας του γάτου και της πρώην γάτας. Ο
γάτος λόγω της έκρηξης έφυγε στη ίδια ευθεία με ταχύτητα 10m/sec. Δίνεται
ότι τα 2 τετράποδα είχαν την ίδια μάζα πριν την έκρηξη. Σε πόσο χρόνο και σε
πόση απόσταση θα συγκρουστούν οι δυο γάτες και μετά από πόση απόσταση θα
σταματήσουν;
γ) Τα κομμάτια μαζών m2 και m3 αποκτούν αντίστοιχα ταχύτητες υδ και 3υδ
αντίστοιχα, όπου υδ είναι η ταχύτητα διαφυγής κάποιας μάζας από το βαρυτικό
πεδίο της γης και πρέπει να υπολογιστεί. Τα κομμάτια αυτά έχουν διαφορά
φάσης 45ο, μετρώντας από τον άξονα x με φορά αντίθετη φυσικά αυτής του
ρολογιού. To m2 προσκολλάται πάνω σε ένα δορυφόρο ο οποίος βρίσκεται σε
ελλειπτική τροχιά γύρω από τη γη με εξίσωση: (x-1)2/α+y^2/β=1. Για τους
υπολογισμούς θεωρήστε το (0,0) ως το κέντρο της γης. Η τροχιά έχει τέτοια
εκκεντρότητα ώστε η κοντινότερη απόσταση που έρχεται ο δορυφόρος με τη γη
είναι 100km. Ο δορυφόρος μένει ακίνητος. Να βρεθούν η εκκεντρότητα της
έλλειψης, το ύψος της σύγκρουσης και η μάζα του δορυφόρου.Το κομμάτι μάζας
m3 τώρα προσκολλάται πάνω σε ένα διαστημόπλοιο της NASA το οποίο οδεύει προς
τον Κρόνο. Έχει όμως τέτοια ορμή που του αλλάζει την πορεία και το κάνει να
κινηθεί σε τροχιά γύρω από το Δία. Με γνωστές τη μάζα και την ταχύτητα του
διαστημοπλοίου, καθώς και με την πληροφορία ότι τα δυο σώματα συγκρούστηκαν
κάθετα, να υπολογιστεί η εξίσωση της τροχιάς από τον Κρόνο στο Δία. Θα μπει
σε τροχιά γύρω από το Δία η θα εκτελέσει την πορεία που μόλις υπολογίσετε
και μετά θα απομακρυνθεί από το βαρυτικό του πεδίο; Η παγκόσμια σταθερά
έλξης GΔ του Δία θεωρείται γνωστή.
δ) Το κομμάτι μάζας m4 πέφτει στην κεντρική πλατεία της Ν. Σμύρνης, όπου
κάτι παιδάκια παίζουν ανέμελα κρυφτό. Ένα από τα παιδάκια, το οποίο έχει
ύψος h=1,5m αηδιάζει και κάνει εμετό. Ο εμετός έχει συνολικό μήκος 20cm και
κάνει οριζόντια βολή με αρχική ταχύτητα 6m/sec. Να βρεθεί το βεληνεκές του
εμετού. Δεδομένου ότι ο εμετός πέφτει στο έδαφος σαν αλυσίδα(δηλαδή όχι όλος
μαζί) να υπολογιστεί ο χρόνος που θα χρειαστεί για να πέσει ολόκληρος στο
πάτωμα, καθώς και η ακτίνα εξάπλωσής του αν υποθέσουμε ότι σχηματίζει κύκλο.
Επιπλέον απαντήστε στην ερώτηση κρίσεως: Είναι αποτελεσματικό να παίζεις
κρυφτό στην πλατεία ή είναι καλύτερο να πας κάπου που να έχει καλύτερες και
περισσότερες κρυψώνες; Να απαντήσετε έχοντας υπόψη σας και αυτούς που
κρύβονται αλλά και αυτόν που τα φυλάει.
ε) Το κομμάτι μάζας m5 πέφτει έξω από ένα σουβλατζίδικο στα Κ. Πετράλωνα. Ο
σουβλατζής μαζεύει περιχαρής το κομμάτι αυτό και το πάει στα σφαγεία να το
κάνει γύρο. Με την αφαίρεση τριχώματος και λοιπών "άχρηστων" στοιχείων η
μάζα μειώνεται κατά 30%. Στο ψήσιμο του γύρου τώρα, θεωρούμε ότι χάνονται
0,7gr/ώρα σε λίπος. Αν ένας πελάτης έχει την ατυχία να του πέσει "όλη η
γάτα" στο σουβλάκι του, πόσες θερμίδες θα πάρει από το γύρο; Αν τρώγοντάς το
καταλάβει ότι είναι γάτα και το πετάξει κατά λάθος στην καράφλα ενός
ανυποψίαστου περαστικού θα μπορέσει σύμφωνα με τις εξισώσεις του Einstein να
γυρίσει πίσω το χρόνο και να διορθώσει το λάθος του;
Για τους υπολογισμούς σας, θεωρήστε γνωστό και το g=10m/s^2